易错的定积分的本质

变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用，这里有些老师讲课的时候都没有注意到，变上限积分函数等价无穷小代换的前提条件。

以下结论是错误的

$x\rightarrow 0$时，$g(x) \sim h(x)$，且$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} {f(x)} = 0$,则有$$\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t \sim \int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t$$

一个“假”的反例

有小伙伴认为，如果$$g(x)=x^2+x^3 \sin \frac{1}{x}, h(x)=x^2, f(x)=x$$
可以得到

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 \sin \frac{1}{x}-x \cos \frac{1}{x}+2 x}{2 x} $$

极限“不存在”就说这是一个反例。实际上这是一个“假”的反例，事实上

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)-h(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^3 \sin \frac{1}{x}} t \mathrm{~d} t}{\int_0^{x^2} t \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^6 \sin ^2 \frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^4}=0 $$

也就是说

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=1 $$

真正的反例

$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2}} \mathrm{~d} t}{\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2} \mathrm{~d} t}} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{1}{\sin ^2 x} }\cdot \cos x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}}=\mathrm{e}^{\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}} \\ & =\mathrm{e}^{\frac{1}{3}} \neq 1 \end{aligned} $$

这个被积函数是怎么想出来的呢？我们先看一个结论的证明。

变上限积分函数的等价无穷小代换的结论和证明

当$x\rightarrow 0$时，$g(x) \sim h(x)$，且$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=1$（这个条件给的很强，比如前面的“假”的反例就不满足，不过考研当中经常可以满足），且在$x=0$的某去心邻域内$g(x) \neq 0, h(x) \neq 0$，则有

$$ \int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t \sim \int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t, m>0 $$

其中$m>0$，
证明：

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t}{\int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=1 $$

反例是怎么想到的呢？

我们注意到证明的最后一步$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)} = 1$这里的$m$是有限值，所以极限一定是1，那么如果是$1^{\infty}$的形式的话，这个极限就未必是1了，也就是说我们找的被积函数要比$x$的任意有限阶次幂高阶才有可能行，而$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n}=0$(不论$n$有多大)，因此分子$\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}$作为被积函数是可能是反例。

总结

变上限积分函数的等价无穷小代换是有前提的，不能“无脑”等价，尤其是在大题中如果出现抽象函数，更是要慎用变上限积分函数的等价无穷小代换。